Александр Петрович родился  26 мая 1912 года в Москве. В 1927 году окончил школу. В 1932 году поступил в класс живописи к известному художнику К.Ф.Юоному. После обучения в классе живописи Быков А.П. поступил в Художественное училище им. 1905 года. После окончания училища работал преподавателем рисования в средней школе.

В 1939 году Александр Петрович уходит добровольцем на финскую войну, а по ее окончании остается служить в кадровой армии. В 1941 году в составе своей воинской части направлен в действующую армию Западного фронта.

Закончил войну в составе 4-й Танковой армии, был награждён орденом Отечественной войны и медалями «За боевые заслуги», «За оборону Кавказа», «За освобождение Праги», «За взятие Берлина», «За победу над Германией». Демобилизовался в 1945 году.

В 1946 году Быков вступил в Московский Горком художников, в 1950 году в Московское товарищество художников.

Александр Петрович работал в области станковой живописи, являлся постоянным участником московских, республиканских и всесоюзных художественных выставок.